向量计算

向量计算

1. 向量加法

定义：向量加法是两个向量对应分量相加得到的新向量。若向量 A=(a1​,a2​,…,an​) 和 B=(b1​,b2​,…,bn​)，则 A+B=(a1​+b1​,a2​+b2​,…,an​+bn​)。

例子：

• 二维向量：A=(3,4)，B=(1,2)

  A+B=(3+1,4+2)=(4,6)

• 三维向量：A=(2,−1,3)，B=(−1,5,0)

  A+B=(2+(−1),−1+5,3+0)=(1,4,3)

几何意义：

• 在二维或三维空间中，向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。例如，将 A 和 B 的起点平移到同一点，则 A+B 是从 A 的起点到 B 的终点的向量。

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2. 标量乘法

定义：标量乘法是将向量的每个分量与一个标量（实数）相乘。若向量 A=(a1​,a2​,…,an​)，标量为 k，则 kA=(ka1​,ka2​,…,kan​)。

例子：

• 二维向量：A=(2,3)，标量 k=4

  kA=4⋅(2,3)=(8,12)

• 三维向量：A=(−1,0,5)，标量 k=−2

  kA=−2⋅(−1,0,5)=(2,0,−10)

几何意义：

• 标量乘法改变向量的长度（模长）和方向：

  • 若 k>0，方向不变；

  • 若 k<0，方向反转；

  • 若 k=0，结果为零向量。

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3. 点积（内积）

定义：点积是两个向量对应分量相乘后的和。若向量 A=(a1​,a2​,…,an​) 和 B=(b1​,b2​,…,bn​)，则 A⋅B=a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​。

例子：

• 二维向量：A=(3,4)，B=(1,2)

  A⋅B=3⋅1+4⋅2=3+8=11

• 三维向量：A=(2,−1,3)，B=(−1,5,0)

  A⋅B=2⋅(−1)+(−1)⋅5+3⋅0=−2−5+0=−7

几何意义：

• 点积等于两个向量的模长与夹角余弦的乘积：

  A⋅B=∥A∥∥B∥cosθ

  其中 θ 是 A 和 B 的夹角。

• 应用：

  • 若 A⋅B=0，则 A 和 B 正交（垂直）。

  • 点积可用于计算投影、工作（力与位移的点积）等。

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总结表格

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扩展思考

• 物理应用：点积在力学中用于计算力对物体所做的功（W=F⋅s）。

• 编程实现：在 Python 中，可使用 NumPy 库进行向量运算：

  import numpy as np
  
  A = np.array([3, 4])
  B = np.array([1, 2])
  
  # 向量加法
  print(A + B)  # 输出: [4 6]
  
  # 标量乘法
  print(4 * A)  # 输出: [12 16]
  
  # 点积
  print(np.dot(A, B))  # 输出: 11

通过这些例子和解释，可以更好地理解向量运算的基本概念及其应用。